Vasakpoolsel joonisel on näidatud kasvav funktsioon, parempoolsel joonisel kahanev funktsioon.

Näide 1. Funktsioonil y = 3 puuduvad nii kasvamisvahemikud kui ka kahanemisvahemikud, sest valides määramispiirkonnast mis tahes kaks x väärtust näeme, et võrratustega (1) ja (2) määratud vahed võrduvad nulliga. Seega funktsioon y = 3 pole kasvav ega kahanev. Sellist funktsiooni nimetatakse konstantseks funktsiooniks.

Näide 2. Leiame funktsiooni y = x2 + 2x + 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Funktsioonil reaalarvulisi nullkohti ei ole. Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, siis avanevad parabooli harud ülespoole. Leiame parabooli haripunkti x koordinaadi. Saame, et xh = -1.

Kasutame nüüd viiendas näites saadud tulemusi võimegi kirja panna kasvamis- ja kahanemisvahemikud:

X↑ = ]-1; +∞[ ja X↓ = ]-∞; -1[.

Keerukamate funktsioonide korral kasutatakse kasvamis- ja kahanemisvahemike leidmisel funktsiooni tuletist.

Viga, mida tasub vältida

Mõnedes kooliraamatutes on kasutatud ka veidi erinevat käsitlust. Nimelt kõigi kasva­misvahemike ühendit nimetatakse kasvamis­piirkonnaks ja kahanemisvahemike hulka ka­hanemispiirkonnaks. Selline käsitlus ei ole matemaatiliselt korrektne. Näiteks funktsiooni y = x3 - 6x kasvamisvahemikud on ]-∞; 0[ ja ]4;+∞ [. Kui nüüd väita, et funktsioon kasvab piirkonnas ]-∞; 0[ U ]4;+∞ [., siis oleme teinud vea. Võttes piirkonnast ]-∞; 0[ U ]4;+∞ [ kaks x-i väärtust x1 ja x2 (nii et x1 < x2), näiteks x1 = -1 ja x2 =5,

siis saame

ƒ(-1) = (-1)³- 6(-1)2 = -7 ja

ƒ(5) = (5)3- 6(5)2 = -25.

Et -25 < -7 , siis nii "defineeritud" kasvamispiirkonnas pole täidetud tingimus x1 < x2→ ƒ(x1) < ƒ(x2), s. t. sellises "kasvamispiirkonnas" argumendi väärtuste kasvades funktsiooni väärtused võivad kahaneda. Et selliseid vigu vältida, kasutame meie termineid kasvamis- ja kahanemispiirkonnad mitmuses ja ei nimeta kasvamisvahemike ühendit kasvamispiirkonnaks. Sellises piirkonnas ei pruugi funktsiooni kasvamise tingimus olla täidetud.

Näide. Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 9x + 8 kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

Leiame kõigepealt funktsiooni tuletise: y' = 3x2 - 6x - 9 ja selle nullkohad.

ƒ'(x) = 0 3x2 - 6x - 9 = 0 x = -1 või x =3.

Kasvamisvahemikes y' > 0, seega

3x2 - 6x - 9 > 0. Siit saame kasvamis­vahe­mikud ]-∞; -1[ ja ]3; ∞[.

Kahanemisvahemikkudes y' < 0, seega

3x2 - 6x - 9 < 0. Selle võrratuse lahendiks on vahemik ]-1; 3[.

Seega funktsiooni y = x3 - 3x2 - 9x + 8

kasvamisvahemikud on ]-∞; -1[ ja ]3; ∞[; selle funktsiooni kahanemisvahemikuks on ]-1; 3[.

Leia antud funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud.

1) y = x2 - 4x                          2) y = x2 - 6x + 8                      3) y = 6x - x2

4) y = -x3 + 3x2 + 9x              5) y = x3 - 3x                             6) y =

7) y = 2x                                 8) y = 2-x                                   9) y = ln x

10) y = ln(-x)                       11) y = x2(x-4)                          12) y = cos 2x

Kontrollige tulemusi programmiga Wiris.