Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal x0 üle kahanemiseks, siis on koht x0 selle funktsiooni maksimumkoht ja arv f(x0) funktsiooni maksimum. Punkt M(x0; f(x0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt.

(v.t. allpool vasakpoolset joonist)

Kui funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal x0 üle kasvamiseks, siis on koht x0 selle funktsiooni miinimumkoht ja arv f(x0) funktsiooni miinimum. Punkt N(x0; f(x0)) on funktsiooni graafiku miinimumpunkt.

(v.t. allpool parempoolset joonist).

Üldiselt võib väita et

Kui funktsioon y = ƒ(x) on pidev kohal x0 ja argumendi üleminekul väärtusest x = x0 funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis funktsioonil on sellel kohal maksimum.

Kui funktsioon y = ƒ(x) on pidev kohal x0 ja argumendi üleminekul väärtusest x = x0 funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis funktsioonil on sellel kohal miinimum.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 9x + 8 ekstreemumid.

1) Leiame funktsiooni tuletise:

y' = 3x2 - 6x - 9.

2) Et tuletis on määratud igal x väärtusel, siis saavad ekstreemumkohtadeks olla

ainult tuletise nullkohad.

3x2 - 6x - 9 = 0 → x1 = -1 ja x2 = 3.

3) Uurime tuletise märki tema nullkohtade ümbruses, võttes lisaks näiteks väärtused -2; 0 ja 4.

ƒ'(-2) = 3·(-2)2 - 6·(-2) - 9 = 15 > 0,

ƒ'(0) = 3·02 - 6·0 - 9 = -9 < 0,

ƒ'(4) = 3·42 - 6·4 - 9 = 15 > 0.

Saadud tulemused võime märkida järgmisse tabelisse:

x	]-∞;-1[	-1	]-1; 3[	3	]3; ∞[
ƒ'(x)	+	0	-	0	+
ƒ(x)	↑	max	↓	min	↑

Et kohal -1 funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis funkt-

siooni kasvamine asendub kahanemisega ja funktsioonil y = x3 - 3x2 - 9x + 8

on sellel kohal maksimum.

Et kohal 3 funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis funkt-

siooni kahanemine asendub kasvamisega ja funktsioonil y = x3 - 3x2 - 9x + 8

on sellel kohal miinimum.

5) Funktsiooni maksimum- ja miinimumväärtused leiame arvutades

ymax = y(-1) = (-1)3 - 3·(-1)2 - 9·(-1) + 8 = 13;

ymin = y(3) = 33 - 3·32 - 9·3 + 8 = 19.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y = 4x3 - x4 ekstreemumid.

1) Leiame funktsiooni tuletise:

y' = 12x2 - 4x3 = 4x2(3-x).

2) Leiame tuletise nullkohad:

4x2(3-x) = 0 → x1 = 0 ja x2 = 3.

3) Uurime tuletise märki tema nullkohtade ümbruses, andes x-le näiteks väärtused -1; 1 ja 4.

ƒ'(-1) = 4·(-1)2(3+1) = 16 > 0,

ƒ'(1) = 4·12(3-1) = 8 > 0,

ƒ'(4) = 4·42(3 - 4) = -64 < 0.

Saadud tulemused võime märkida järgmisse tabelisse:

x	]-∞; 0[	0	]0; 3[	3	]3; ∞[
ƒ'(x)	+	0	+	0	-
ƒ(x)	↑	ekstreemumit ei ole	↑	max	↓

Seega funktsioonil y = 4x3 - x4 on kohal x = 3 maksimum

ymax = ƒ(3) = 4·33 - 34 = 33(4 - 3) = 27.